全ての整数を3つの立方数の和で表すとな？
編集数を3つの立方数の和で表せるか？という数学クイズ的な問題がありますよ式で書くと任意の整数 nに対してn=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z）を求めるということですなこの問題は立方となっているところがミソでございまして・・・負数の立方は負数となりまして和と言いつつ計算としては引き算になるために３つの立方の差し引きの計算となるために解を探索する範囲を無限にとる必要があるのですよとは言え解は簡単に見つかるケースも多いですよたとえば4^3+4^3+(-5)^3=3という感じでして3に対する解の組は（4,4,-5)ということになりますなこの問題のさらに奇妙なところは解が無限に存在するらしいと推測されておりますよ例えば1に対しての解は(1,0,0)というあほらしいくらい単純な組しか解にはならないだろうと考えてしまいますが実際には(-6,-8,9),(9,10,-12)という別解がありますよ1と2の場合では無限に解の組を生成できる以下の一般式が発見されておりますよ1に対しては(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)2に対しては(1+6a³,1-6a³,-6a²)ほぉーまじかいな？と思ってしまいますが実際これらの組をx³+y³+z³ に代入して式変形してみると以下のように確かに1と2に式がまとめられてしまいますよ(9a⁴)³+(3a-9a⁴)³+(1-9a³)³=729a¹²+27a³-81a⁶+729a⁹+729a¹²-(1-27a³+81a⁶+729a⁹)=1そして1に対する2つの別解は一般式(9a⁴,3a-9a⁴,1-9a³)にa=1,a=-1を代入して得られるものですなこの問題は一般式が生成できるほど単純なもの思えないのございますがなかなか面白い問題ですな1と2以外の整数に対しても解の一般式が存在するのかどうかわかりませんがもしかするとあるのかもしれませんなというのは3に対する別解もはやり見つかっているのでございますよ別解があるということは解は無限に存在していてそれを生成する一般式も存在するのでは？と期待してしまいますな3に対しての別解ですが先の（4,4,-5)の組の他に(1,1,1)というあほらしいくらい単純な組も解になるわけですが他にも・・・(569936821221962380720,-569936821113563493509,-472715493453327032)という非常に大きな整数の組も解になるのでございますよこの整数を検算するにはエクセルや電卓では無理でございますので多倍長演算 web電卓のような桁の長い数字の計算を正確にできるものが必要になりますな569936821221962380720³+(-569936821113563493509)³+(-472715493453327032)³=185131426470358721030003064550489120286063150089838997749248000- 185131426364725746289073278168542399539619802127338908944671229- 105632974740929786381946720746443347962500088804576768 =3非常に大きな数値になりますが引き算の結果は正しく3になっておりますよこんな大きな数字が出てきてしまうのは予想できないことでありますな小さい数字の範囲で解の組が２つだけ存在するところで解は出尽くしたのかと思いきや探してみるとこのような大きな数字の組も解となっているということが最近わかったということなのでございますが数学の神様はこの大きな数字の組に一体どのような意味を持たせたのでしょうな？もしやこれはナンバーズ3を予想する鍵なのでしょうか？さて、私もこの謎解きに少し参加してみたくなりましてw³=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組を探してみましたよこれは(n,0,0)という自明な解が存在しますが意味ありませんのでこれ以外の別解を探したいと思いますよそれとn≦100については全ての自然数で解の組が発見されているということなのでn＞100の自然数を目標としたいですないろいろと調べているうちにこの問題の解を網羅しているページが見つかったのですがこのページにもw³=x³+y³+z³ の自明でない解は載っていませんでしたのでこれは別解を探してみる価値は少しあるかもしれないと思っておりますよただ前述の3の場合のように巨大な数字まで探索することはできませんので小さい値の組を見付けるという想定で調べておりますよではではまずは小さい数から確認していきますと・・・w=2 つまり n=2^3=8=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組でございますがネットで見つかる(9,15,-16) =9^3+15^3-16^3=という組がありますよ他にも(-16,-12,18)=-16^3-12^3+18^3= という組もありますよw=3 つまりn=3^3=27の場合となりますがネットで見つかる (-4,-5,6)=-4^3-5^3+6^3=27の他に(-10,-18,19)=-10^3-18^3+19^3=27も見つかりましたよw=4 つまりn=4^3=64の場合となりますがネットで見つかる (-3,-5,6)=-3^3-5^3+6^3=の他に(18,30,-32)=18^3+30^3-32^3=64も見つかりましたよなお小さい値で見つかってほしいという期待を込めてエクセルで巨大な掛け算の九九のような表を作って検索することで見つけておりますよw=5 つまりn=5^3=125の場合の解ですがネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-30,-40,45)=-30^3-40^3+45^3=125w=6 つまりn=6^3=216の場合の解もネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-32,-33,41)=-32^3-33^3+41^3=216w=7 つまりn=7^3=343の場合の解もネットでは見付けられませんでしたがエクセルで見つけることが出来ましたよ (-63,-70,84)=-63^3-70^3+84^3=343w³=x³+y³+z³ と書ける整数の組（x,y,z)の組がエクセルで探索した程度で簡単に見つかりましたので任意のw に対しても比較的小さな値として見つかると推測できますなそれから解が簡単に見つかるということは一般式があるだろうと言えますないろいろ探していたらKNOWN FAMILIES OF INTEGER SOLUTIONS OF x³ + y³ + z³ = nこちらのPDF の中に一般式がありましたよx³+y³=z³+w³ となる解の組は以下の式で表せるようですなx = 1 − (p − 3q)(p^2 + 3q^2),y = −1 + (p + 3q)(p^2 + 3q^2),z = (p + 3q) − (p^2 + 3q^2)^2,w = −(p − 3q) + (p^2 + 3q^2)^2次はこちらの検証と実際にプログラムを組んで解をリストさせてみようと思いますよというわけで今回は調べて得た解を表にしてまとめて終わりといたしますよww³xyzx³y³z³x³+y³+z³73436370-84250047343000-592704343→1に対する(9,10,-12) と同値6216-32-3341-32768-35937689212165125-30-4045-27000-6400091125125→1に対する(-6,-8,9) と同値4641830-32583227000-3276864→2に対する(9,15,-16) と同値464-3-56-27-12521664327-4-56-64-12521627327-10-1819-1000-583268592728915-167293375-4096828-16-1218-4096-172858328→1に対する(-6,-8,9) と同値ではでは。
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