数の不思議(その1):カプレカ数
整数の桁を並べ替えて、最大にしたものと最小にしたものとの差を取る。この操作によって元の値に等しくなる数を『カプレカ数』と呼ぶ。(カプレカ数とは裄を並ひ替えて、最大にしたものから最小にしたものの差を取った時元の値に等しくなる数をカプレカ数と言う)例えば2023 2023−0223=1800・・・・・・ダメ 8100−0018=8082・・・・・・ダメ 8820−0288=8532・・・・・・ダメ 8532−2358=6174・・・・・・ダメ 7641−1467=6174・・・・・・ ◯となり、この後は 6174 が繰り返される。どのような4桁の数でも最終的に 0 または 6174 になることが確かめられるよって 6174は「カプレカ数」。カプレカ数を小さな順に並べると、下記のごとくに。0, 495, 6174, 549945, 631764, 63317664, 97508421, 554999445, 864197532, 6333176664,・・・・・・「0」も含めてこれまでに全部で20個のカプレカ数が見つかっているとのこと。■3桁のカプレカ数が495のみであることの証明証明3桁のカプレカ数nの各桁の数字を大きい順に並べたものをabcとする。0≤c≤b≤a≤9である。このとき,(100a+10b+c)−(100c+10b+a)=99(a−c)より nは 99の倍数である。したがって99の倍数かつ 3桁の自然数は9個しか存在しないため、すべて実験して確かめてみると、カプレカ数495が導けます。99 の倍数を1つずつ調べる。198 →981−189=792 ダメ297 →972−279=693 ダメ396 →963−369=594 ダメ495 →954−459=495 OK594 →954−459=495 ダメ693 →963−369=594 ダメ792 →972−279=693 ダメ891 →981−189=792 ダメ 990 →990− 99=891 ダメ■2桁の場合はどうだろうか。例えば 28 から始めて最大-最小のカプレカ操作を繰り返すと、28: 82-28=54:54-45=9:90-09=81:81-18=63:63-36=27 :72-27=45: 54-45=9 となり9 を中心に 9→81→63→27→45→9 の循環をする.73の場合は73:73-37=36:63-36=27:72-27=45:54-45=9:90-09=81:81-18=63:63-36=27:72-27=45:54-45=9となりこれも、9 を中心に 9→81→63→27→45→9 の循環をする。したがって、数が 2 桁の場合は、ある範囲の数を循環するが 2 つの混循環小数の形に似ている。よって、2桁のカプレカ数は存在しない。■3桁の他の数字、例えば「523」で引き算操作を行ってみましょう。532-235=297972-279=693963-369=594954-459=495右端の答えの部分、十の位の数字が全部「9」で、百の位の数字は上から順に「6」⇒「5」⇒「4」とひとつずつ小さくなっており、一の位の数字は上から順に「3」⇒「4」⇒「5」とひとつずつ大きくなっています。また、ここに並ぶ3桁の数字は、一の位と百の位の数字を足すと9になるというも特徴かもしれません。■4桁の場合 4桁なので、0≦d≦c≦b≦a≦90≦d≦c≦b≦a≦9を満たす自然数 a、b、c、d<を使って、N(大)=1000a+100b+10c+dN(小)=1000d+100c+10b+aと表すことができる。よって、カプレカ操作を 1回行った数 N′はN′=N大−N小=(1000a+100b+10c+d − (1000d+100c+10b+a)=999a+90b−90c−999d=999(a−d)+90(b−c)となる。さて、a-dは 1 と 9 の間の数値をとり、b- cは 0 と 9 の間の任意の値をとり得るから、上記の形の数は全部で 90 個ある。そこで、確認のため数の表を作成した(表2)。この表で,(a − d) ≧ (b − c)であるから,左下の 36 個(網がけ)については意味のない数である.次に、第 2 回引き算を実行するために、表2の数を大きい順に並べ変えると表 3 になる.この表で残るのは、網がけの重複を除くと 30個の数である。30個の数がどのようにして6,174に到達するのかを系統図で示したのが図 1である。これで、すべての 4桁の自然数が6,174に到達することが一目にしてわかるであろう。最大 7 回で到達することもわかる.それにしても不思議なものだ。■5桁の場合53,955→95,553-35,559=59,99459,994→99,954-45,999=53,955(53,955 59,994)2つの数でグルグルと循環します。よって、カプレカ数は存在しないということ。■6桁の場合 549,945 → 995,544−445,599=549,945631,764 → 766,431−134,667=631,764とカプレカ数が2個見つかっています。■7桁の場合 存在しません。■8桁の場合 2個見つかっています。 63,317,664→76,664,331−13,346,667 =63,317,66497,508,421→98,754,210−01,245,789 = 97,508,421■全部で20個のカプレカ数が見つかっている・・・この先には??1桁のカプレカ数 03桁のカプレカ数 4954桁のカプレカ数 6,1746桁のカプレカ数 549,945 631,7648桁のカプレカ数 63,317,664 97,508,4219桁のカプレカ数 554,999,445 864,197,53210桁のカプレカ数 6,333,176,664 9,753,086,421 9,975,084,20111桁のカプレカ数 86,431,976,53212桁のカプレカ数 555,499,994,445 633,331,766,664 975,330,866,421 997,530,864,201 999,750,842,00113桁のカプレカ数 8,643,319,766,53214桁のカプレカ数 63,333,317,666,66415桁のカプレカ数 ???,???,???,???,??? ・・・END・・・